Fließkommaarithmetik

Fließkommaarithmetik ist eine Methode zur Darstellung und Handhabung eines weiten Bereichs von Realzahlen in binärer Form. Der eingebaute BASIC-Interpreter des C64 enthält eine Reihe von Unterprogrammen für die verschiedensten Berechnungen mit Fließkommazahlen (auch Gleitkomma- oder Gleitpunktzahlen genannt). Diese Routinen können auch aus vom Benutzer erstellten Maschinenspracheprogrammen heraus aufgerufen werden, um Berechnungen mit Realzahlen im Bereich von ±2.93873588·10⁻³⁹ bis ±1.70141183·10³⁸ durchzuführen.

Funktionsweise

Eine Realzahl T im Fließkommaformat besteht aus einer Mantisse m und einem Exponenten E, welche so "ausgewählt" werden, dass T = m · 2^E entspricht.

Die Mantisse ist normalisiert, d.h. eine Festkommabinärzahl im Bereich von 0,5 bis 1, so dass 0,5 ≤ m < 1 gilt, d.h. unmittelbar nach dem Komma steht stets eine 1, dahinter folgen mehrere (31 im Falle des vom C64-BASIC verwendeten Formats) binäre Nachkommastellen.

Der vorzeichenbehaftete Exponent ist eine 8-Bit-Ganzzahl in Exzesscodierung, um negative Exponenten darstellen zu können, die für Fließkommazahlen mit einem Betrag < 0,5 oder >= 1 benötigt werden. Der Wert 128 (entspricht dem Exzess bzw. engl. bias) entspricht dabei einem Exponenten von 0, größere Werte stellen einen entsprechend großen positiven und kleinere einen negativen Exponenten dar. Der Vorteil davon liegt in der einfachen Vergleichbarkeit zweier Werte, ohne eine Subtraktion durchführen zu müssen, auch wenn beim Rechnen mit Exponenten mitunter Korrekturen nötig sind.

Wert	Bedeutung als Exponent	Fließkommawert
$00	---	0
$01	-127	2↑(-127) * Mantisse
. . .
$80	0	2↑0 * Mantisse
. . .
$FF	+127	2↑127 * Mantisse

Ein separates Vorzeichenbit zeigt an, ob die aus Mantisse und Exponent resultierende Fließkommazahl positiv oder negativ ist. Damit wird der gesamte oben genannte Wertebereich abgedeckt, bis auf die 0: Da sich diese aufgrund der Wertebereichseinschränkungen der Mantisse mit o.g. Formel nicht darstellen lässt, signalisiert stattdessen ein Exponent mit dem Wert 0 (entspräche Exponent −128), dass der gesamte Fließkommaausdruck dem Wert 0 entspricht, unabhängig von der zugehörigen Mantisse.

Fließkommadarstellung auf dem C64

Grundsätzlich werden die Fließkommazahlen in 2 unterschiedlichen Formen abgelegt:

1. In einer für Berechnungen praktikableren Form als Register bestehend aus 6 oder 7 Bytes.
2. In Variablen in einer kompakten 5 Bytes umfassenden Form.

Registerdarstellung

Zwei Bereiche in der Zeropage sind für das Rechnen mit Fließkommazahlen reserviert.

FAC

FAC (Floating Point ACcumulator), gelegentlich auch als FAC1 bezeichnet, belegt sieben Bytes ab Adresse 97/$61.

• Adresse 97/$61 enthält den Exponenten,
• Adressen 98–101/$62–$65 enthalten die vier Bytes (32 Bit) der Mantisse,
• Adresse 102/$66 enthält das Vorzeichen im Most Significant Bit: %0xxxxxxx (gelöschtes Vorzeichenbit) für positive und %1xxxxxxx (gesetztes Vorzeichenbit) für negative Zahlen,
• Adresse 112/$70 enthält Rundungsbits der Mantisse bei Zwischenberechnungen.

ARG

ARG (Floating Point ARGument), gelegentlich auch FAC2 oder AFAC (Alternate FAC) genannt, belegt sechs Bytes ab Adresse 105/$69. ARG ist im Wesentlichen wie FAC angelegt, beinhaltet aber kein Byte für Rundungsbits.

• Adresse 105/$69 enthält den Exponenten,
• Adressen 106–109/$6A–$6D werden von der Mantisse belegt,
• Adresse 110/$6E enthält das Vorzeichen im Most Significant Bit: %0xxxxxxx (gelöschtes Vorzeichenbit) für positive und %1xxxxxxx (gesetztes Vorzeichenbit) für negative Zahlen.

Variablendarstellung

Um den Speicherverbrauch zu reduzieren, werden Fließkommazahlen im restlichem Arbeitsspeicher auf 5 Bytes komprimiert: Da wegen der Normalisierung der Mantisse das führende Bit stets 1 ist, wird das dafür benötigte Bit von den ROM-Routinen, welche Zahlen aus FAC oder ARG in den Arbeitsspeicher kopieren, durch das Vorzeichenbit ersetzt. Die Routinen, welche in umgekehrter Richtung kopieren, lagern das Vorzeichenbit wieder aus und fügen das führende 1-Bit der Mantisse wieder hinzu.

Bezeichnung:	exp								sign/ma4								ma3								ma2								ma1
Byte:	0								1								2								3								4
Bit:	7	6	5	4	3	2	1	0	7	6	5	4	3	2	1	0	7	6	5	4	3	2	1	0	7	6	5	4	3	2	1	0	7	6	5	4	3	2	1	0
	E	E	E	E	E	E	E	E	S	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M	M

Typische Werte in der Variablendarstellung:

Exponent (hex.)	Mantisse (hex.)	Wert (dez.)
00	xx xx xx xx	0 (Mantisse egal)
01	00 00 00 00	2.93873588E-39 (betragsmäßig kleinster Wert)
80	00 00 00 00	0.5
81	00 00 00 00	1
81	80 00 00 00	-1
FF	7F FF FF FF	1.70141183e+38 (betragsmäßig größter positiver Wert)
FF	FF FF FF FF	-1.70141183e+38 (betragsmäßig größter negativer Wert)

Umrechnungsbeispiel

• Exponent: exp-128
• Mantisse: (m4 >= 128 ? -1 : +1) * ((m4 | 0x80) >> 8 + m3 >> 16 + m2 >> 24 + m1 >> 32)
  als Ausdruck in der Syntax der Programmiersprache C, wobei "x >> y" as x*2↑(-y) zu verstehen ist (Bit-Schiebeoperation nach rechts).

     exp       m4       m3       m2       m1
      98       35       44       7A       00      - Hexadezimaldarstellung
     152       53       68      122        0      - Dezimaldarstellung
10011000 00110101 01000100 01111010 00000000      - Binärdarstellung
         ^sign bit

In diesem Fall:
Exponent = 152 - 128 = 24                                      ; dez
Mantisse = 0.10110101010001000111101000000000                  ; bin
Mantisse = +1 * (53 >> 8 + 68 >> 16 + 122 >> 24 + 0 >> 32)     ; dez
         = 1 * 2^-1 + 0 * 2^-2 + 1 * 2^-3 + 1 * 2^-4 + 0 * 2^-5 + ...
         = 0.70807611942291259765

Die Zahl ist also
0.70807611942291259765 * 2^24 = 11879546.0

Verwendung in Basic

In sämtlichen CBM-Basic-Varianten werden Ausdrücke grundsätzlich in Fließkommaarithmetik durchgeführt, selbst dann, wenn nur einfachere Datentypen, wie etwa Ganzzahlvariablen beteiligt sind.

Abgesehen von den üblichen Operatoren gibt es folgende besondere Funktionen in Bezug auf Fließkommazahlen bzw. deren Eigenschaften:

• ABS - den Betrag einer Fließkommazahl ermitteln (etwaiges negatives Vorzeichen entfernen)
• INT - die nächstkleinere Ganzzahl ermitteln (Nachkommastellen entfernen).
• SGN - das Vorzeichen ermitteln
• STR$ - eine Fließkommazahl in eine Zeichenkette verwandeln
• VAL - eine Zeichenkette in eine Fließkommazahl wandeln

Nutzung von Fließkommaroutinen

So wie praktisch alle arithmetischen Maschinensprachebefehle den Akkumulator der CPU nutzen, stellen FAC und ARG die Dreh- und Angelpunkte für Fließkommaberechnungen dar: Die zu verarbeitenden Zahlen werden in FAC oder ARG kopiert und von den per JSR aufrufbaren Fließkommaroutinen im ROM gemäß deren Funktion manipuliert. Das Ergebnis der Operation steht anschließend im FAC bereit.

Falls Fließkommazahlen im Arbeitsspeicher für die Operation herangezogen oder aus FAC oder ARG dorthin kopiert werden, ist deren Adresse an die ROM-Routinen per A-, X- und/oder Y-Register zu übergeben, wobei die genaue Verwendung der Register je nach Funktion variiert. Auch muss man bei den meisten Rechenoperationen damit rechnen, dass FAC und ARG überschrieben werden.

Verschiebe-/Kopierroutinen

Name	Adresse dez.	Adresse hex.	Beschreibung
CONUPK	47756	BA8C	ARG mit Zahl aus dem Speicher füllen (A=Adr.LB, Y=Adr.HB). Vergleicht danach noch als Vorbereitung für nachfolgende Operationen die Vorzeichen von ARG und FAC und schreibt das Ergebnis nach Addresse $6F ($00: Vorzeichen gleich, $80: Vorzeichen ungleich), und lädt den Exponenten von FAC nach A (d.h. setzt Zero Flag genau dann, wenn FAC gleich null). Die Routinen FADDT, FDIVT, FMULTT und FPWRT setzen diese Vorbereitung voraus.
MOVAF	48124	BBFC	Zahl in ARG nach FAC kopieren
MOVFA	48140	BC0C	Zahl in FAC nach ARG kopieren
MOVFM	48034	BBA2	FAC mit Zahl aus dem Speicher füllen (A=Adr.LB, Y=Adr.HB)
MOVMF	48084	BBD4	Zahl aus FAC im Speicher ablegen (X=Adr.LB, Y=Adr.HB)

Formatumwandlungen

Name	Adresse dez.	Adresse hex.	Beschreibung
FACINX	45482	B1AA	Zahl in FAC zu 16-Bit-Ganzzahl mit Vorzeichen wandeln (Y=LB, A=HB).
FIN	48371	BCF3	Nullterminierten PETSCII-String zu Fließkommazahl in FAC wandeln (Stringadresse in $7A/$7B). Erwartet erstes Zeichen im Akku und gelöschtes Carry-Flag, z.B. durch Aufruf von CHRGOT (JSR $0079).
STRVAL	47029	B7B5	PETSCII-String zu Fließkommazahl in FAC wandeln (String-Adresse in $22/$23, String-Länge im Akku).
FOUT	48605	BDDD	Zahl in FAC zu nullterminiertem PETSCII-String wandeln (ab $0100 ff., Adresse auch in A, Y). Direkte Ausgabe des FAC-Inhalts als String ist auch über $AABC/43708 möglich.
GIVAYF	45969	B391	16-Bit-Ganzzahl mit Vorzeichen zu Fließkommazahl in FAC wandeln (Y=LB, A=HB).
QINT	48283	BC9B	Zahl in FAC in 32-Bit-Ganzzahl mit Vorzeichen wandeln ($62-$65, Big-Endian-Reihenfolge).

Rechenroutinen

Name	Adresse dez.	Adresse hex.	Beschreibung
ABS (ROM-Routine)	48216	BC58	Funktion ABS auf FAC anwenden
ATN (ROM-Routine)	58126	E30E	Funktion ATN auf FAC anwenden
COS (ROM-Routine)	57956	E264	Funktion COS auf FAC anwenden
MUL10	47842	BAE2	Zahl in FAC mit 10 multiplizieren
DIV10	47870	BAFE	Zahl in FAC durch 10 teilen. Vorzeichen wird ignoriert, das Ergebnis ist stets positiv.
EXP (ROM-Routine)	49133	BFED	Funktion EXP auf FAC anwenden
FADD	47207	B867	Addiert Zahl in RAM zu FAC (A=Adr.LB, Y=Adr.HB)
FADDH	47177	B849	Addiert 0.5 zu FAC - nützlich zum Vorbereiten einer nachfolgenden Rundung
FADDT	47210	B86A	Addiert ARG zu FAC (Voraussetzungen beachten!)
FDIV	47887	BB0F	Teilt Zahl in RAM durch FAC (A=Adr.LB, Y=Adr.HB)
FDIVT	47890	BB12	Teilt ARG durch FAC (Voraussetzungen beachten!)
FINLOG	48510	BD7E	Akkumulator als vorzeichenbehaftete Ganzzahl zu FAC addieren
FMULT	47656	BA28	Multipliziert FAC und Zahl im RAM (A=Adr.LB, Y=Adr.HB)
FMULTT	47664	BA30	Multipliziert FAC mit ARG, wie FMULT, aber ohne Einlesen der Zahl nach ARG aus dem RAM - nützlich, wenn der 2. Faktor bereits in ARG präsent ist (Voraussetzungen beachten!)
FPWR	49016	BF78	Potenziert ARG mit Zahl aus RAM (A=Adr.LB, Y=Adr.HB)
FPWRT	49019	BF7B	Potenziert ARG mit FAC (Voraussetzungen beachten!)
FSUB	47184	B850	Subtrahiert FAC von Zahl in RAM (A=Adr.LB, Y=Adr.HB)
FSUBT	47187	B853	Subtrahiert FAC von ARG
INT (ROM-Routine)	48332	BCCC	Funktion INT auf FAC anwenden
LOG (ROM-Routine)	47594	B9EA	Funktion LOG auf FAC anwenden
NEGOP	49076	BFB4	Ändert das Vorzeichen einer Zahl !=0 in FAC
POLY	57433	E059	Polynomauswertung für FAC
POLYX	57411	E043	Polynomauswertung nur mit ungeraden Exponenten für FAC
ROUND	48155	BC1B	FAC runden (Rundungsbyte in Mantisse einarbeiten)
SGN (ROM-Routine)	48185	BC39	Funktion SGN auf FAC anwenden
SIN (ROM-Routine)	57963	E26B	Funktion SIN auf FAC anwenden
SQR (ROM-Routine)	49009	BF71	Funktion SQR auf FAC anwenden
TAN (ROM-Routine)	58036	E2B4	Funktion TAN auf FAC anwenden

Vergleichsoperationen

Name	Adresse dez.	Adresse hex.	Beschreibung
FCOMP	48219	BC5B	Vergleicht FAC mit Zahl im Speicher (A=Adr.LB, Y=Adr.HB). Ergebnis in Statusregister und Akku: A=0: FAC=RAM, A=1: FAC>RAM, A=-1(255): FAC<RAM
SIGN	48171	BC2B	Setzt Negative- und Zero-Flags im Statusregister entsprechend dem Vorzeichen und Betrag der Zahl in FAC

Weblinks

Wikipedia: Gleitkommazahl

Wikipedia: Exzesscode

• Microsoft BASIC for 6502: float routines, Source Repository on GitHub
• Project64: Memory-Mapping mit Fließkommaspeicherstellen und -routinen